In der Darstellungstheorie sind die Charaktere die Spuren einer absolut irreduziblen Darstellung; die Spur einer Darstellung ist eine Funktion, die jedem dargestellten Element die Spur der darstellenden Matrix zuordnet.

Lineare Darstellungen ermöglichen es, Eigenschaften einer Gruppe mit den Mitteln der linearen Algebra zu untersuchen; das ist nützlich, weil die lineare Algebra, im Gegensatz zur Gruppentheorie, ein kleines, abgeschlossenes und bestens verstandenes Gebiet ist.

Darstellungen endlicher Gruppen ermöglichen es in der Molekülphysik und Kristallographie, die Auswirkungen vorhandener Symmetrien auf messbare Eigenschaften eines Materials mit Hilfe eines rezeptmäßigen Kalküls zu bestimmen.

Eine Körpererweiterung, die von einem einzelnen Element erzeugt wird, heißt einfache Erweiterung. Eine einfache Erweiterung ist endlich, wenn sie von einem algebraischen Element erzeugt wird, und rein transzendent, wenn sie von einem transzendenten Element erzeugt wird.

Körper der Charakteristik 0, endliche Körper und algebraisch abgeschlossene Körper sind vollkommen. Jede algebraische Erweiterung eines vollkommenen Körpers ist separabel.

und wenn die körper auf 0° gebracht sind und sich immer noch bewegen.